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晚清凌步芳算稿及書版最新發現探析
添加時間:2019-09-11

  摘    要: 依據新發現的史料《凌百硯齋算稿八種》及已刻三種古籍雕刻版片, 系統考察晚清嶺南重要的布衣數學家凌步芳的生平事跡, 簡述版片和書籍并存的《割圓捷術通義》《衍粟布衍草》《算學答問》書版的保存現狀, 并提出進一步研究與科學有效保護的建議, 從一個側面揭示凌步芳運用微積分研究三角函數的冪級數展開式、應用代數方法進行借貸計算 (原本、利率、收回數) 取得的數學成就, 展現其運用微積分解決問題的思想和素樸的金融數學思想, 彰顯其對晚清傳播微積分、代數學等西方數學所做出的貢獻, 并藉此強調數學古籍版片在科學史研究中的重要性。

  關鍵詞:  凌步芳; 凌百硯齋算稿八種; 雕刻版片; 微積分; 杜氏九術;

  Abstract: According to the newly discovered historical materials Eight Books of Mathematics from Ling BaiyanZhai ( Ling Bai Yan ZhaiSuan Gao Ba Zhong, 凌百硯齋算稿八種) and three kinds of ancient imprinted book engravings, the author systematically studies the life story of the important underclass mathematician in South China in Late Qing dynasty, Ling Bufang, and briefly introduces the current preservation situation of Introduction to the Cyclotomic Method ( Ge Yuan Jie Shu Tong Yi, 割圓捷術通義) , Yan Su Bu Yan Gao, 衍粟布銜草 ( 此書名難以意譯) and Questions and Answers on Mathematics ( SuanXue Wen Da, 算學問答) , whose engravings and books co-existed. On the basis, the author puts forward suggestions on further research and on how to protect them scientifically and effectively. The mathematical achievements that Ling Bufang had made in using calculus to study power series expansion of trigonometric functions and applying algebraic methods for the calculation of debit and credit ( principal, interest rate, principal plus profits) are showed.These reveal his ideas of using calculus to solve problems and his elementary thoughts of financial mathematics, which demonstrates his contributions to the communication of Western mathematics, such as calculus, algebra, etc., in Late Qing dynasty. The author then hopes to stress on the importance of the ancient mathematics book engravings in study of the history of science.

  Keyword: Ling Bufang; Eight computing drafts in Bai Yan Room of Ling (Ling Bai Yan Zhai Suan Gao Ba Zhong) ; engravings; calculus; Du Shi Jiu Shu;

  凌步芳是晚清嶺南一位布衣數學家, 世人對其生平事跡和數學成就的了解, 大多源自他的數學著作《凌百硯齋算稿八種》, 其中已刻三種即《杜德美割圓捷術通義》 (上下卷) 、《衍粟布衍草》《算學答問》, 而《火器說略》《指數變法》《重學詳說》《微分詳說》《積分詳說》五種未刻。數學史研究著述最早提及凌步芳的應是中國數學史名著《中算史論叢》 (第三集) [1], 李儼先生認為“凌步芳 (字仲儒號賁南, 番禺人, ?—1902) 之《割圓捷術通義》四卷, 則于杜氏外增三十二術, 并取徑于《微積溯源》。其第三十術‘弧求正切’自注稱:弧在半象限以下, 切線甚小者, 可用此術求之。即

  (近似值) ”論及凌步芳運用微積分方法推證杜氏九術并將之推廣的事實。

  對于未刊刻的五種算稿, 宣統《番禺縣續志》記載“國朝凌步芳撰, 存, 手鈔本”。然“存”于何處史料未曾具體說明。李迪則稱“《百硯齋算稿》, 八種 (已刊三種) ……余五種:《火器說略》一卷、《指數變法》一卷、《重學詳說》六卷、《微分詳說》三卷、《積分詳說》四卷, 未出。”[2]郭書春認為“《指數變法》一卷, 未刊……《積分詳說》四卷, 疑收入《百硯齋算稿》, 未刊……《百硯齋算稿》, 八種, 光緒二十八年 (一九二年) 刊本。”[3]

  多年來, 筆者多方搜尋凌步芳未刊行的珍貴書稿及相關史料, 2015年2月終如愿以償, 在凌步芳后裔處發現全部《凌百硯齋算稿八種》原/書稿以及已刻三種書稿的雕刻版, 書籍原稿與數學書版目前由凌步芳后裔完好保存, 經凌步芳后裔許可, 筆者已把新發現的五種未刻算稿及已刻三種數學書版制成電子數據文獻復本, 這是研究我國晚清數學史不可或缺的重要史料, 將成為了解和研究凌步芳生平著述以及微積分思想等在廣東乃至全國傳播與發展的重要文獻。本文擬對新發現的凌步芳算稿及書版作一簡要介紹。

晚清凌步芳算稿及書版最新發現探析

  1、 凌步芳生平事跡考

  關于凌步芳的生平事跡, 現存史料有限, 凌步芳后裔稱家譜文革期間已散失, 凌步芳墳塋遷移時墓碑已毀, 現祖屋尚留有兩塊石碑, 其中之一刻“清光緒辛卯年正科第十七名舉人凌步芳”字樣, 宣統《番禺縣續志》在敘記《算法新裁》 (二卷) 作者時稱:“國朝凌文海撰。謹按, 凌文海, 凌邊人, 與族弟步芳同習算學。”其余便是《凌百硯齋算稿八種》原/書稿及書版。

  凌步芳 (1849—1902) , 字仲孺, 號賁南, 廣東番禺人, 清朝光緒辛卯年 (1891) 舉人, 后曾2次上京應會試不中, 落榜后心灰意冷, 從此不踏舉業, 專心于數學研究并開館授徒, 晚年曾在廣州的宣城書院 (大塘秉政街, 1938年6月4日被日軍飛機炸毀, 僅余書院門額, 今廣州市國家檔案館僅存現場圖片) 、鄺氏書院 (今廣衛路與吉祥路附近的衛邊街) 等教授學生數學。他曾計劃收集端硯100方, 故將自己書房命名為“百硯齋”, 可惜未能如愿即英年故去, 令人扼腕長嘆。

  據凌步芳的侄孫凌慕增先生 (1936年5月生, 稱凌步芳為伯公) 回憶, 他祖父凌允揚曾說, 凌步芳的父親凌侶鴻共育有兒女10人, 凌步芳排行第六, 凌允揚排行老幺 (第十) 。凌步芳只生一女凌巧嫦 (裹小腳) , 成家后一直未到婆家生活, 后與和她經歷相似的一堂姐/妹共同生活, 直至1961年6月去世, 享年81歲, 無子女。這與現存《割圓捷術通義》向廣東提學使司“請版權事由……還懇給予版權以贍孀孤, 自應準如所請……”所述相吻合。因凌步芳無子嗣, 故將凌慕增的父親凌沛江過繼給凌步芳 (繼香火) , 1902年凌步芳去世, 享年53歲, 其著作等由凌沛江承繼, 收藏保存至今, 由此推知凌步芳應誕生于1849年。

  只有小學文化的凌慕增, 至今還能朗朗背出其祖父凌允揚口授凌步芳借用時傳并能表達其際遇的詞句:“士農工商, 終日茫茫, 人生碌碌, 競短爭長, 嘆西風金谷, 夜月烏江, 阿房宮冷, 銅雀臺荒。真乃凄涼, 真乃彷徨, 總不如樂天知命, 安分守常。”

  這可能源自沈復《浮生六記》、亦或是俗傳康熙逍遙詞“看士農工商, 終日奔忙, 人生碌碌, 競短爭長, 卻不道榮枯有分, 得失難量。嘆秋風金谷, 夜月烏江, 阿房宮冷, 銅雀臺荒, 卻做了邯鄲夢一場。真乃凄涼, 真乃彷徨, 道不如樂天知命, 守分安常。”

  凌步芳何時、何處、向誰學算等, 迄今發現的相關史料難以查考, 但他以自學為主習得數學知識卻是不爭的事實。他在《衍粟布衍草》序中寫道, “余幼習舉業, ……惟聞同郡某先生以算鳴于時, 心好之嘗往而請業, 而門墻高峻不易得入, 又索重贄, 非白金四十兩不許及門, 余既呀其世道, 又自顧寒畯無力辦此, 嗒然退而自懟也。自是乃漸購算書, 以私意解之, 亦似易易, 遂慨然欲奉古人以為師, 隨購隨讀, 漸有所得, 而其時風氣未開, 按張南皮書目答問內所列算書, 索之書肆十不得二三……”[4]張之洞《書目答問》是一部令初學者易買易讀、便于翻檢之書, 子部“天文算法第七”著錄算術、幾何、代數、天文、歷法等書籍, 中西兼顧, 其中大多為中國古算書, 涉及一些西方數學如《代數術》《代微積拾級》《數學啟蒙》等, 凌步芳正是沿著《書目答問》引導的中西數學書目, 自學成才的。

  凌步芳曾寄望清末旨在增設算學科的科舉內容改革, 試圖通過數學科舉考試獲取功名, 以自己的數學專長效力于國家, “憂憶前十年, 時聞大臣議開算學科, 則躍躍然, 喜以為余所學將有用于世”, 但殘酷的現實使之望而卻步, 最終放棄科名以數學為業, “天馬行空不可羈, 壯心猶記讀書時, 如今屢受同人笑, 道是賁南老算師。假館宣城學課徒, 重陽未近已催租, 及門舊友多通算, 為算今年過得無。”[5]致力于傳播數學文化的數學著述和數學教育, 成為繼陳澧、鄒伯奇等人之后嶺南又一位重要的數學家。

  2、 百硯齋算稿及書版保存現狀

  迄今, 學界對《凌百硯齋算稿八種》已刊三種、未刊五種書名不存疑義, 但每種卷數多少說法稍有出入, 但都依據《杜德美割圓捷術通義》之百硯齋卷首綱目所述“《割圓捷術通義》二卷、《衍粟布衍草》一卷、《算學答問》一卷, 《火器說略》一卷、《指數變法》一卷、《重學詳說》六卷、《微分詳說》三卷、《積分詳說》四卷。”

  李儼先生稱《割圓捷術通義》四卷, 可能是筆誤, 將《衍粟布衍草》一卷、《算學答問》一卷和《割圓捷術通義》二卷合成四卷了。事實上, 《割圓捷術通義》二卷正式書名, 分別稱為《杜德美割圓捷術通義》《杜德美割圓捷術通義下卷》。

  從新發現的未刻五種手稿本來看, 《微分詳說》分四冊 (本) , 由卷首、卷一至卷十一構成;《積分詳說》分三冊 (本) , 包括卷一至卷十一;《重學詳說》分六冊 (本) , 從卷一至卷十六 (含流質重學) ;《火器說略》與《指數變法》各為一冊 (本) 。不難發現, 百硯齋卷首綱目所稱的“卷”, 實為“冊”也。

  2.1、 凌步芳已刻三種算稿

  凌步芳在世時, 《凌百硯齋算稿八種》已先后成書, 并附有凌步芳自序, 光緒辛丑年嘉平月 (1901年12月) 其在《自題百硯齋算稿絕句十五首并序》中寫到, “……故于寫定全稿之余, 略舉大旨, 題之簡端, 都為截句十五首……”描述其學算、著述的過程和其中的苦辣酸甜。比如, 凌步芳在丁酉 (1897) 臘月自記的《衍粟布衍草》序中指出, 戊子年 (1888) 友人從湖南買回《粟布衍草》, “余性好思……以代數術推之, 又別有所見, 然不知與諸先生立術之旨果有合焉否也, 乃一片紙書之夾于《粟布衍草》中……后館于鄺氏書院, 是年即丁酉科也揭曉后……復理舊業, 無意中于《粟布衍草》內忽見故紙……伸紙惘惘, 強理前說, 按法推算, 夜以繼日, 則向之所謂根數藏匿隱而未宣者, 皆豁然開通……乃編次細草而抄存之, 以為一家之言……”可見, 《衍粟布衍草》寫作前后歷時十年, 成書于1897年。

  因刻資欠缺, 《凌百硯齋算稿八種》一直未能出版, 直至凌步芳光緒壬寅年去世 (1902年) 后, 其門生和親朋好友才捐資刻印《杜德美割圓捷術通義》《衍粟布衍草》《算學答問》三種, 光緒二十八年開雕、三十二年刊竣 (“遺書付梓請給版權由”) 。《火器說略》《指數變法》《重學詳說》《微分詳說》《積分詳說》“以上五種容后續出”, 但迄今均未能面世。

  凌步芳已刻三種算稿, 目前流傳于世的至少有11套, 分別藏于凌步芳后裔、廣東省立中山圖書館 (粵圖) 、李儼、錢寶琮、李迪、北京圖書館北海分館、南開大學圖書館、安徽師范大學圖書館、內蒙古師范大學科學史研究所資料室、東北師范大學圖書館、中國科學院自然科學史研究所圖書館等處[6]。2015年4月, 廣州出版社出版的《廣州大典》 (第四十五輯·子部天文算法類第一冊) , 收錄該三種算稿的影印本 (依粵圖藏本復制) [7], 向海內外公開發行。

  圖1
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  圖2
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  圖3
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  按“頁”指書 (稿) 中標示的頁碼、1頁包括左半頁和右半頁、封面算半頁 (0.5頁) 計算, 《凌百硯齋算稿》已刻三種共163頁, 具體頁數如下:

  (1) “凌百硯齋算稿八種”售賣廣告、“欽命三品銜 (署理廣東提學使司學使準補高雷陽道) 段批, 光緒三十二年十一月初三日示”字樣的版權頁、“光緒壬寅粵東番禺靈山凌百硯齋開雕”頁各0.5頁。

  (2) 《杜德美割圓捷術通義》封面0.5頁, 自序4頁, 百硯齋卷首綱目1頁, 百硯齋卷首自序5頁, 百硯齋卷首附序4頁, 正文41頁;《杜德美割圓捷術通義下卷》封面、目錄、正文共29頁;《衍粟布衍草一卷》封面0.5頁, 序2頁, 正文30頁;《算學答問一卷》封面0.5頁, 序3頁, 正文38頁, 后序3頁。

  2.2、 凌步芳已刻三種算稿版片

  凌步芳已刻三種算稿為私刻, 以凌步芳的書齋名“百硯齋”為書號, 由門生親友募資、借眾人之力刊刻, 以紀念和緬懷剛去世的凌步芳, 勉勵子孫后學, 沿承前學的寶貴遺產。因乏資財, 心有余而力不足, 其余五種算稿只能擱置至今, 不得出版, 落下遺憾。

  已刻三種算稿版片的數量 (頁數) 、大小規格、保存狀況等基本信息, 除版權頁、《割圓捷術通義下卷》第19—20頁的1塊版片缺失外, 其余保存基本完好, 共81塊板。同時, 新發現一塊單面“凌百硯齋算稿八種”售賣廣告版片, 上書“三種先出分裝———凌仲孺師百硯齋算稿八———四本定價八角” (圖1) ;另“百硯齋算稿八種” (圖2) 、各書封面也為單面木刻版 (共4塊) , 如《割圓捷術通義下卷》封面 (圖3) ;其余版片多為雙面木刻版。

  售賣廣告版片的大小為寬22.6厘米、左右邊框高20.5厘米、中間框高24厘米、厚1.7厘米, “百硯齋算稿八種”版片的大小為內/外寬12.6/13厘米、內/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米。

  《杜德美割圓捷術通義》23塊板, 封面與開雕頁同一塊板 (圖4) , 封面內/外寬26.1/26.5厘米、內/外高18.3/18.7厘米、厚1.3厘米, 其余內/外寬27/27.4厘米、內/外高17.4/17.8厘米、厚1.2厘米, 上象鼻4.3厘米、下象鼻長3.5厘米, 版心長, 9.1厘米、寬1.2厘米。

  圖4
圖4

  《杜德美割圓捷術通義下卷》15塊板, 缺第19—20頁的1塊板, 封面內/外寬12/12.3厘米、內/外高17.7/18厘米、厚1.6厘米, 其余內/外寬27/27.4厘米、內/外高17.6/18厘米、厚1.2-1.5厘米, 上象鼻5.1厘米、下象鼻長3.6厘米, 版心長8.5厘米、寬1.2厘米。

  《衍粟布衍草一卷》17塊板, 其中第13—14頁多1塊備用板, 內/外寬27.1/27.5厘米、內/外高17.6/18厘米、厚1.2厘米, 上象鼻5厘米、下象鼻長3.5厘米, 版心長8.4厘米、寬1.2厘米。

  《算學答問一卷》24塊板, 封面、最后一頁、自序第3頁為單面, 封面內/外寬15.6/16厘米、內/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米, 其余內/外寬28.4/28.7厘米、內/外高18.3/18.6厘米、厚1.2厘米, 上象鼻7.2厘米、下象鼻長2.9厘米, 版心長8厘米、寬1.2厘米。

  從版式設計看, 與大書局如廣雅書局等所刻書籍如出一轍。如行款為半頁十一行, 每行二十四字, 大小字數相同, 有的行還可能會出現小字雙行的注解, 但出現數學式子或圖形時, 就比較靈活, 會根據具體情況作出調整, 并不按固定格式排列 (圖5) 。而晚晴數學書籍如《幾何原本》行款大多采用半頁10行22字, 間有少量的10行20/21/24/25字或11行21字, 凌步芳已刻三種算稿的行款設計體現其印刷文化的地域特征。版框, 各書規格相同, 都為四周雙邊, 高度大致為18厘米, 整框寬度約為28厘米, 而廣雅書局所刊書籍大多為四周單邊、版框的高度大致為20厘米、半框寬度稍大于15厘米。版心, 刻有書名、卷次、頁數, 如“卷一割圓捷術通義八” (只有“割圓捷術通義七”漏了卷次) 、“卷二

  割圓捷術通義二十七”“卷三衍粟布衍草三十七”“卷四算學答問八”等, 版心長約8.5厘米、寬1.2厘米, 印有頁數。魚尾采用黑口單魚尾 (上魚尾) , 上象鼻 (花口) 刻有“百硯齋算稿八種”, 下象鼻為闊黑口, 上花口長、下象鼻長各板不一。

  圖5
圖5

  圖6
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  從字體和排印方式看, 除封面、自序、后序等用篆書或草書體外, 正文等都選擇通行的宋體字, 數學語言符號則采用李善蘭創制的體系;書的排印方式, 按傳統的由右向左直行規格, 數學式子則是從左到右的橫排格式。

  從刻印者看, 作為私刻的凌步芳已刻三種算稿, 未曾記載刻書人、承印人等相關信息, 這與官刻、坊刻標識其字號或名稱不同。所幸《杜德美割圓捷術通義》末頁板背面書有“書板三扎, 交省雙門底上街儒雅堂大寶號收入, 馬岡馮繼善”字樣 (圖6) , 可推知凌步芳已刻三種算稿由馬岡馮繼善承刻、粵東儒雅堂承印。廣東順德縣馬岡幾乎成為清朝廣東乃至全國的刻書中心, 工匠主力多為婦女, 是國內幾個存在過女子刻書的地區之一, 有著長期的刻書傳統和業績, 馮繼善即馮繼善堂是當時馬岡重要的刻字鋪號, 其所刻之書常題“粵東順邑馬岡鄉馮繼善承刊”等鋪名牌記, 往往書刻成后未下墨刷印即送廣州等地印刷[8]。清代廣州書坊 (賣書、刻書、印書等) 數量之多僅次于北京、蘇州, 大小120多家, 多集中于雙門底 (即今北京路北段) 、西湖街、學院前等地, 官刻、私刻大量委托書坊代印, 儒雅堂書坊即在雙門底, 是清代廣州書坊數量最多的地方。由記載的內容看, “省雙門底上街”即廣州北京路北段, 大意是馮繼善堂將所刻的三部書刻板, 送交廣州雙門底上街的儒雅堂書坊承印。

  2.3、 凌步芳已刻三種算稿的基本內容

  將微積分、代數學、圓錐曲線等西方數學新知識與當時中國數學研究最前沿領域相結合, 是凌步芳研習數學的重要特征, 已刻三種算書就是其代表性成果, 是其數學思想的重要體現。

  明末清初是西方數學第一次輸入中國, 為中國傳統數學注入新鮮血液, 鴉片戰爭后, 清政府被迫打開中國的大門, 西方數學再一次進入中國, 偉烈亞力與李善蘭合譯的《代微積拾級》 (1859) 等西方近代高等數學, 引起清末數學家的極大興趣, 出現研習微積分的熱潮, 但主要以學習理解微積分為主, 運用微積分進行數學研究并有所成就的不多, 夏鸞翔、凌步芳等就是其中的佼佼者。18世紀中葉至19世紀中葉百余年間, 我國對三角函數和對數函數等冪級數展開式研究是數學研究的前沿課題, 源自清初傳入的“杜氏三術”, 明安圖、董佑誠、戴煦、項名達、李善蘭、徐有壬、夏鸞翔、鄒伯奇、顧觀光等數學家均有涉獵, 并自成體系, 各具特色。然而, 運用微積分方法系統研究杜氏級數并有所成就者, 即是凌步芳的《杜德美割圓捷術通義》及其下卷。

  《杜德美割圓捷術通義》以“杜德美割圓捷法原本 (從董氏遺書本) ”為藍本, 先依次闡釋杜氏九術“第一術圓徑求周、第二術通弧求通弦、第三術通弧求矢、第四術弧背求正弦、第五術弧背求正矢、第六術通弦求通弧、第七術矢求通弧、第八術正弦求弧背、第九術正矢求弧背”, 然后明確指出“第八術、第一術、第六術、第九術、第七術, 共一法;第四術、第二術, 共一法;第五術、第三術, 共一法。論曰:以上九術共三法, 其實則一法矣。……則雖謂杜氏九術, 皆統于第八正弦求弧一術可也, 各詳其法如下。”之后用《微積溯源》卷七第七題的方法, 對第八術予以推證, 最后再分別對其余八術進行證明。這是凌步芳的創建, 為前人未曾有過的。在此基礎上, 凌步芳又列出新的三十三術, 其中除第九術 (“弧求余弦, 本微積拾級”) 、第二十二術 (“正切求弧, 本微積拾級”) 、第二十三術 (“正切求弧又法, 本微積溯源”) 外, “余共三十術皆新定。”但不加證明, “讀者自可以上卷諸法, 推而得之。”這就是《杜德美割圓捷術通義下卷》的全部內容。李儼先生所言“于杜氏外增三十二術”可能是筆誤, 實為三十三術。

  《衍粟布衍草》是凌步芳用代數方法推廣《粟布算草》的研究成果, 《粟布算草》是當時數學名家吳嘉善、李善蘭、曾紀鴻、丁取忠、左潛、鄒伯奇等, 通過書信往來的方式, 討論研究借貸計算的論文專集, 吳裕賓研究認為把廉法表、天元術、堆垛術、今有術等中國傳統數學方法用于借貨中原本、利率、收回數的計算, 這在中國數學史上尚無先例, 在中國數學與金融史上都有積極意義[9]。凌步芳“先立術, 次釋術, 補求收回次數一法, 復推廣之。”從“立術共四款” (第一款求原本術、第二款求收回術、第三款求利率術、第四款求收回若干次數術) , 到第五款論本法一、第六款論本法二、第七款論本法比例、第八款釋第一款術、第九款釋第二款術、第十款釋第三款術、第十一款釋第四款術、第十二款釋粟布衍草術一、第十三款釋粟布衍草術二等方面, 論述自己的獨到見解, 展現素樸的金融數學思想, “而惜乎不得親見丁果臣暨吳李諸先生執書質疑于芰荷精舍中, 故今之所得者止此。嗚呼, 世之寒士, 獨學而無師者難矣哉。”

  《算學答問》是一本以問答方式討論西方數學新知識的著作, “隨得隨錄, 積成二卷, 其中答問重學微積者居十之六七, 后又為重學微積詳說一一用之, 故復刪去, 僅留重學微積諸詳說所未載者若干條, 都為一卷如左。”主題零散, 不成體系, 主要涉及幾何、代數、圓錐曲線/擺線、三角函數的冪級數展開式、重心等內容, 既有問題解答, 也有原理解惑。如“問平三角, 已知三邊求積。法以……而所以同式之理, 精蘊總欠分明, 試求其說。答曰:此當分款論之, 但觀一圖猶未知其的確也。”“問《代數術》九十三款九十四款, 何義。”又如“問祖氏綴術, 或以為即杜德美屢乘屢除之法, 然否。”對此處祖沖之父子的“綴術”與徐有壬代表作《割圓八線綴術》 (吳嘉善述草、左潛補草) 中的綴術, 凌步芳道出其來龍去脈與關系, 明確指出徐有壬的綴術即“求式者連綴而下”, 為三角函數的冪級數表示法, 該書以文字敘述的展開式稱為術、以綴術書寫的展開式稱為式。

  2.4、 凌步芳未刻五種算稿

  五種未刻算稿都無正式封面和題名, 只是在每冊書底題寫書名與編號 (如《微分詳說》一、二、三、四, 《積分詳說》一、二、三等) , 但每種書稿都有序、總論或后記 (圖7) , 論及成書的背景或緣由。

  圖7
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  “微積初學詳說”自序說, “惟教學以來, 舉業外有算術請者, 九章代數外, 有以微積請者, 予皆以所知者告知, 或草之書以代喉舌, 積久成帙, 遂錄存之, 名曰初學詳說, 紀實也。大旨本微積拾級, 拾級不備間采溯源以補之。然其中文理, 但求明順, 實不盡合拾級本文, 以拾級既經翻譯, 亦非原本也。世有通材, 取法貴上, 當必取原本讀之, 而原本之在今日, 又不可得, 則自今以往, 不知又歷幾何年。必有一日, 五洲一統, 中外同文, 盡取耐端來本之等原書, 以上貢天祿石渠, 而下領于天下學官者, 其將在神圣復生, 興亞東而聲教西迄之世也呼。時歲在屠維大淵獻若。”可以看到, 《微分詳說》《積分詳說》成書時間在己亥年 (1899年) , 是為微積分初學者撰寫的學習參考書, 內容取自《代微積拾級》與《微積溯源》, 從其目錄也可看出一斑:《微分詳說》包括, 首卷釋號、釋名, 卷一總論 (論變數、論變數限、論微分) , 卷二代函數微分, 卷三代函數設題, 卷四上二項例、指函數微分、對函數微分, 卷四下圓函數微分, 卷五繁函數設題, 卷六上疊次微系數、馬戴二術之理, 卷六中馬戴二術之用, 卷六下馬戴二術不可通用之故, 卷七上陰函數微分、雙變數疊微分, 卷七中極大極小限之一, 卷七下極大極小限之二, 卷八曲線上之四線公式、漸近線, 卷九曲線曲面曲體各微分公式, 卷十 (上中下) 曲率半徑、漸伸線、擺線理、曲線相切、曲線上諸獨異點, 卷十一隱分數、無窮小數理;《積分詳說》包括, 卷一總論, 卷二獨函數積分、多函數積分、獨項對函數積分、常數丙, 卷三合名積分、合名四術, 卷四合名四術作法之原, 卷五分函數積分, 卷六虛函數積分、級數積分, 卷七對函數積分、指函數積分、圓函數積分, 卷八曲線積分, 卷九曲線面積分, 卷十曲線之皮積, 卷十一曲線之體積。顯而易見, 凌步芳微積詳說主要是為微積分初學者詮釋拾級、溯源的相關內容, 如在“論疊求微系數”中, 對《微積溯源》求函數u (x) =a2/ (x2+a2) 高階導數只是提供答案的情形, 作出詳盡解答并對結果予以歸納說明, 其中涉及求 (x2+a2) 3導數沒有出現類似《代微積拾級》求 (x2+a2) 3導數的失誤。這從一定程度上反映出微積分傳入中國40年后, 中算家對微積分的理解更深刻, 已認識到西方數學的優越性, 認為較之譯著, 原著對學習微積分更重要, 并相信中西數學合流之日必將到來。

  《重學詳說》是對艾約瑟、李善蘭合譯的《重學》之解讀, 緣起是“適有門人問動理及地心引力者, 予以第十九卷示之, 多為設題以暢其說。及門見之喜, 據此可以發揮重學矣, 強予為重學詳說……時歲在重光赤奮若。”完成于辛丑年 (1901年) , 全書依《重學》順序編排, “前七卷皆論靜重學”, 卷一論桿、卷二論并力分力、卷三論七器、卷四論助力合器、卷五論重心、卷六論剛質相定之理、卷七論面阻力;后九卷為動重學, 卷八動重學總論凡例、卷九論平動相擊、卷十論漸加速及地心攝力之理、卷十一總論物動于拋物線之理、卷十二論物行于曲線之理、卷十三論動體繞定軸之理 (此卷沿用原文, 故語皆晦澀) 、卷十四論器動、卷十五論動面阻力、卷十六論諸器利用, 附錄的流質重學“以下皆原文, 有損無增, 不過先后移易之, 以便讀耳。”凌步芳詮釋《重學》的基本方式, “ (造衡法) 原文簡晦, 全行訂明疏通”;或增加實例以示說明, 如“按此款只存公式而未詳其理, 以其淺故不言也, 然非初學可曉, 今補數題于后, 以明其理兮”;或提出質疑并予改正, 如“按吾粵南海鄒伯奇遺書存稿謂三角椎體重心在垂線四分之一, 此言非也。……鄒氏一時疏忽誤認此為垂線耳……以下分款言之, 以證明公式之塙, 而鄒氏之誤亦明矣。”

  《指數變法》又稱《指數變法匯鈔》, 是“為習微積者用也……皆前人之舊法而已矣, 故曰匯鈔。”凌步芳只是輯錄, 沒有“詳說”。他在《火器說略》庚子年二月 (1900年) 的自記中稱, “右說火器一卷, 庚子春讀李壬叔火器真訣之所推衍也。……庚子……正月二十由鄉抵省城, 館友未至, 寒風砭人……荒館一燈, 益覺沉寂, 信手取架上書, 適得李氏火器真訣, 又憶李氏作此書時, 嘗以示金匱華蘅芳, 華不滿意, 別為拋物線淺說, 故并取閱之, 其求兩拋角之交角, 用意甚巧, 然李氏圖中已具此法, 比之華氏尤為簡捷……不揣固陋, 爰取其圖說而引申之, 又條分之縷析之, 以補重學第十一卷之所未備。既又用重學理, 采華氏說, 衍為拋角、拋時、拋界、拋速, 反復互求, 斜面上下, 高拋、平拋、低拋, 皆有圖說。歷十余日, 至二月初九, 則同學具來, 課程斯始, 力不暇他及, 故僅得若干題而止。……又有拋角、有拋界, 求斜面交地平角一法, 未立, 姑俟他日。”

  概而言之, 凌步芳未刻五種算稿, 是以詮釋《代微積拾級》《微積溯源》《重學》與《火器真訣》為主要特征的系列著作, 雖然給出一些獨創性的解釋, 但尚未發現具有超越原/譯著之處。普及數學新知對數學發展的重要性不言而喻, 學校教學、學者研究、期刊出版、民間傳播等綜合起來才能到達目的, 畢其功于一役的想法或做法收效甚微, 都不切合實際, 這是微積分在中國傳播的曲折歷史給予的啟迪。

  4、 結語

  雕版印刷的版片是紙質古籍印刷的母體和源頭, 有著和紙質古籍一樣的歷史價值和學術價值。據統計, 我國現今的版存總量在百萬片左右, 這個數量, 遠遠小于紙質古籍的收藏總量[10]。就數學古籍版片而言, 存世量比較稀少、分散, 一種書雕一套版、一套版只能印一種書, 木雕版更難保存。目前國內鮮有研究, 相關論著尚屬空白。2014年12月05日山西省運城市垣曲縣文物局對外通報, 發現清代科學家安清翹所著《數學五書》《數學指南》等著作的338塊木刻雕版, 有待進一步深入研究, 這也是迄今提及數學古籍雕版的難得一次。

  凌步芳已刻三種書籍及其書版, 是一套雕版和書籍匹配并保存至今的珍貴歷史文化遺產, 至今已110多年, 十分難得。如何對私藏的凌步芳數學書版及算稿進行揭示和研究, 進而提出、實施科學有效的保護措施和方法, 意義深遠, 研究者將在后續的研究中予以探討。

  參考文獻

  [1]李儼.中算史論叢 (第三集) [M].北京:科學出版社, 1955.489.
  [2] 李迪.中國算學書目匯編[M].北京:北京師范大學出版社, 200.239-240.
  [3]郭書春.中國科學技術典籍通匯·數學卷[M].鄭州:河南教育出版社, 1993.1501-1543.
  [4] (清) 凌步芳.衍粟布衍草[M].百硯齋刻本, 光緒二十八年 (1902年) .
  [5] (清) 凌步芳.杜德美割圓捷術通義 (百硯齋卷首自序) [M].百硯齋刻本, 光緒二十八年 (1902年) .
  [6] 李迪.中國算學書目匯編[M].北京:北京師范大學出版社, 2000.393.
  [7]陳建華.廣州大典 (第377冊) [M].廣州:廣州出版社, 2015.421-506.
  [8]黃國聲.廣東馬岡女子刻書考索[J].文獻, 1998 (2) :266-270.
  [9]吳裕賓.我國第一部借貸計算論著---《粟布算草》[J].中國科技史料, 1992 (4) :14-23.
  [10]邵瑋.金陵刻經處經版的管理與保護研究[D].河南大學碩士學位論文, 2013:1.

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